જો ઉપવલય $\frac{ x ^{2}}{16}+\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ અને વર્તુળ $x ^{2}+ y ^{2}=4 b , b > 4$ નાં છેદબિંદુઓ વક્ર $y^{2}=3 x^{2}$ પર આવેલ હોય, તો $b=..... .$

ઉપવલયો $E_k: k x^2+k^2 y^2=1, k=1,2, \ldots, 20$ ધ્યાને લો. જેનું એક અંત્યબિંદુ પ્રધાન અક્ષ પર અને બીજું ગૌણ અક્ષ પર હોય તેવી, ઉપવલય $E_k$ ની યાર જીવાઆને સ્પર્શતું વર્તુળ ધારો કે $C_K$ છે.જો $r_k$ એ વર્તુળ $C_k$ ની ત્રિજ્યા હોય, તો $\sum \limits_{k=1}^{20} \frac{1}{r_k^2}$ નું મૂલ્ય $........$ છે.

બે ઉપવલયો ${E_1}:\,\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1$ અને ${E_2}:\,\frac{{{x^2}}}{16} + \frac{{{y^2}}}{b^2} = 1$ છે જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac {1}{2}$ થાય તો ઉપવલય $E_2$ ની ગૌણઅક્ષની લંબાઈ મેળવો. 

ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષના અંત્યબિંદુ $A$ અને ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી રેખા તેના સહાયક વૃતને બિંદુ $M$ આગળ સ્પર્શેં છે તો $A, M$ અને ઉગમ બિંદુ $O$ આગળ શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ-

જે ઉપવલયની અક્ષો યામાક્ષો હોય અને જે બિંદુ $(-3, 1)$માંથી પસાર થતું હોય અને ઉત્કેન્દ્રીતા $\sqrt {2/5} $ હોય, તે ઉપવલયનું સમીકરણ :

રેખા $L$ એ રેખાઓ $b x+10 y-8=0$ અને $2 x-3 y=0$, $b \in R -\left\{\frac{4}{3}\right\}$ ના છેદબિંદુ માંથી પસાર થાય છે . જો રેખા $L$ એ બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને વર્તુળ $17\left( x ^{2}+ y ^{2}\right)=16$ ને સ્પર્શે છે તો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રીતા મેળવો.